Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:
Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT
На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:
- как употребляется слово
- частота употребления
- используется оно чаще в устной или письменной речи
- варианты перевода слова
- примеры употребления (несколько фраз с переводом)
- этимология
Что (кто) такое Непрерывная дробь - определение
ДРОБЬ С ДРОБНЫМ ЗНАМЕНАТЕЛЕМ
Цепная дробь; Подходящие дроби; Подходящая дробь; Непрерывные дроби; Цепные дроби; Формула Браункера
![золотого сечения]]](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Golden ration convergents.svg?width=200 "золотого сечения]]")
Непрерывная дробь
цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида
где a0 - любое целое число, a1, a2,..., an,... - натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Н. д. К Н. д., изображающей некоторое число α, можно прийти, записывая это число в виде
где a0 - целое число и 0 < 1/α1 < 1, затем, записывая в таком же виде α1 и т. д. Число элементов Н. д. может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Н. д. называют конечной или бесконечной. Н. д. (1) часто символически обозначают так:
[а0; a1, a2,..., an,...] (бесконечная Н. д.) (2)
или
[а0; а1, a2,..., an] (конечная Н. д.). (3)
Конечная Н. д. всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н. д. (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы an ≠ 1. Н. д. [а0; a1, a2,..., ak] (k ≤ n), записанную в виде несократимой дроби pk/qk, называют подходящей дробью порядка k данной Н. д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами:
pk+1 = ak+1pk + pk-1, qk+1 = ak+1qk + qk-1,
которые служат основанием всей теории Н. д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение
pkqk-1 - qkpk-1 = ± 1.
Для каждой бесконечной Н. д. существует предел
называемый значением данной Н. д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. д., получаемой разложением α указанным выше образом, например
(е - 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...];
квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н. д.
Основное значение Н. д. для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа α, то есть, что для любой другой дроби m/n, знаменатель которой не более gk имеет место неравенство |nα - m| > |gkα - pkl; при этом |qk. - pk| < 1/qk+1. Нечётные подходящие дроби больше α, а чётные - меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.
Н. д. используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения 22/7, 355/113 для числа π (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения π в Н. д. Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и π было дано в 1766 немецким математиком И. Ламбертом с помощью Н. д. Французский математик Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числа (См. Алгебраическое число) α степени n можно найти такую постоянную λ, что для любой дроби x/y выполняется неравенство |α - x/y| > λ/уn. С помощью Н. д. можно построить числа α такие, что разность |α - pk/qk| делается меньше α/gk, какую бы постоянную λ мы ни взяли. Так, используя Н. д., можно строить трансцендентные числа. Недостатком Н. д. является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий; например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения.
Н. д. встречаются уже в 16 в. у Р. Бомбелли. В 17 в. Н. д. изучал Дж. Валлис; ряд важных свойств Н. д. открыл Х. Гюйгенс, занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Н. д. Л. Эйлер в 18 в.
В 19 в. П. Л. Чебышев, А. А. Марков и др. применили Н. д., элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов (См. Ортогональные многочлены).
Лит.: Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. - Л., 1946; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. - Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер. с лат., т. 1, М. - Л., 1936; Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар. - К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. - B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto - N. Y. - L., 1948.
НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ
(цепная дробь) , один из важнейших способов изображения чисел. К непрерывной дроби, изображающей некоторое (нецелое) число ?, приходят, записывая это число в виде: ,где a0 - целое число и 0 ? 1/?1 < 1; далее, записывая ?1 в таком же виде: и продолжая этот процесс для ?2 и т. д., получают непрерывную дробь.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ
Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь
где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны
и
Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2?1 + 3?3)/(2?1 + 3?2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3?3 + 4?11)/(3?2 + 4?8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные - больше x, а четные - меньше).
Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4?11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:
Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x - иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n0 - наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n0 + (x - n0), где x - n0 - положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x1 больше 1 и x = n0 + 1/x1. Если n1 - наибольшее целое число, которое меньше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), где x1 - n1 - положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x2 больше 1, и x1 = n1 + 1/x2. Если n2 - наибольшее целое число, которое меньше x2, то x2 = n2 + 1/x3, где x3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n0, 1/n1, 1/n2, ... непрерывной дроби, являющихся приближениями x.
Поясним сказанное на примере. Предположим, что тогда
Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения : 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны.
Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x - радианная мера острого угла, то тангенс угла x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, ?x2/3, ?x2/7, ?x2/9, ..., а если x - положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальным решением дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x.
Википедия
Непрерывная дробь
Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида
где есть целое число, а все остальные — натуральные числа (положительные целые). При этом числа называются неполными частными или элементами цепной дроби.
Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.
Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.
